Fields-Medaille 2 - Gibt speziellen Differenzialgleichungen „Sinn“

Wien/Seoul (APA) - Martin Hairer beschäftigt sich mit ganz speziellen Problemen im Bereich Differenzialgleichungen. Mit solchen Gleichungen ...

Wien/Seoul (APA) - Martin Hairer beschäftigt sich mit ganz speziellen Problemen im Bereich Differenzialgleichungen. Mit solchen Gleichungen lassen sich viele Vorgänge in der Natur, Technik und Gesellschaft mathematisch beschreiben.

Relativ einfach ist das noch etwa bei der Berechnung einer Planetenbahn mittels gewöhnlicher Differenzialgleichung. Wenn man die Kräfte kennt, die auf einen Planeten wirken, gibt es zu jedem Zeitpunkt nur eine Unbekannte, nämlich die Position des Planeten.

Komplizierter wird es bei partiellen Differenzialgleichungen - „da hängt die Unbekannte nicht nur von der Zeit, sondern auch vom Raum ab“, erklärte Hairer im Gespräch mit der APA. Als klassisches Beispiel dafür nennt der Mathematiker die Wärmeleitungs-Gleichung. Mit deren Hilfe kann man ausrechnen, wie sich die Wärme zum Beispiel in einem Metallstück verteilt, das auf einer Seite kalt, auf der anderen Seite warm ist.

Bei der mathematischen Modellierung solcher Phänomene wird allerdings meist außer Acht gelassen, dass bei vielen Prozessen auch zufällige Ereignisse eine wichtige Rolle spielen. Will man diese nicht vernachlässigen, kommen stochastische Differenzialgleichungen zum Einsatz.

Eine Art von stochastischen partiellen Differenzialgleichungen, mit denen sich Hairer in den vergangenen Jahren viel beschäftigt hat (sogenannte „KPZ-Gleichungen“), beschreibt, „wie sich eine eindimensionale Grenze zwischen zwei Substanzen oder zwei Phasen generell verhält“, sagte der Mathematiker. Konkret kann man sich das anhand eines Blatt Papiers vorstellen, das man gleichmäßig über eine ganze Seite hinweg anzündet. Aufgrund zufällig angeordneter Stellen, die langsamer bzw. schneller verbrennen, wird sich die Flamme ungleichmäßig durchs Papier fressen. Den Verlauf des verkohlten Rands - also die eindimensionale Grenze zwischen den zwei Phasen fest und gasförmig - kann man mit stochastischen partiellen Differenzialgleichungen berechnen.

Doch bei manchen solcher Gleichungen tauchen Teile auf, die Mathematiker sprechen von Termen, „die klassisch keinen Sinn machen“. Hairer hat eine Theorie („Theory of regularity structures“) entwickelt, „die systematisch solchen Gleichungen Sinn gibt“, wie er betont. Damit würden sie „für spezielle Anwendungsfälle berechenbar und auf soliden mathematischen Grund gestellt“.

Die Arbeit, in der diese nun ausgezeichnete Theorie formuliert wurde, „ist noch nicht wirklich erschienen, das dauert in der Mathematik immer ziemlich lange“, sagte Hairer. Seit rund 1,5 Jahren ist die Publikation fertig, seit dem Frühjahr 2013 im Internet abrufbar und soll im Fachjournal „Inventiones mathematicae“ erscheinen.

(S E R V I C E - Seite der Internationalen Mathematischen Union zur Fields-Medaille: http://www.mathunion.org/general/prizes/fields/details; Homepage Martin Hairer: http://www.hairer.org/)


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